Lokale Symmetrien und Kräfte

Nun wollen wir uns noch kurz den lokalen Symmetrien zuwenden. Unter lokalen Symmetrien versteht man lokale Transformationen - diese hängen explizit von den Raum-Zeit Koordinaten ab - welche die Lagrange-Dichte invariant lassen. Allgemein wird eine lokale Transformation durch

$$\phi(x)\rightarrow\phi'(x)=e^{i\alpha(x)}\phi(x)$$

beschrieben. Um die Lagrangedichte unter einer solchen Transformation invariant zu belassen, ist es erforderlich, die sogenannte Kovariante Ableitung anstelle der normalen Ableitung zu verwenden:

$$\partial_\mu\rightarrow D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$$

Dieses führt dann zu den sogenannten Eichtheorien (vgl. Minimale Kopplung zur Einführung der Elektrodynamik in die Quantenmechanik). Mit Hilfe dieses Formalismus gelingt es, über lokale Symmetrien Wechselwirkungen einzuführen. Dabei spricht man von $e$ als Kopplungskonstante und $A_\mu$ als Eichfeld, welches die kraftvermittelnden Teilchen beschreibt. Es sei noch bemerkt, daß diese so eingeführten Teilchen stets masselos sind.