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Ziel dieser Arbeit war die Untersuchung von Eigenschaften effektiver
Hamiltonfunktionen für das 2-dimensionale
Sine-GORDON-Modell auf dem Gitter.
Es wurden mehrere RG-Transformationen
(z. B. GAUSS-Blockspins
mit verschiedenen 
-Parametern) und diverse
Parametrisierungen der effektiven Hamiltonfunktionen studiert.
Um die Güte der unterschiedlichen Approximationen zu bewerten, benutzte ich
zwei Kriterien:
- Es wurden die Erwartungswerte der Schichtdicke
auf dem groben Gitter sowohl exakt (durch Simulation
auf dem feinen Gitter mit nachfolgender Blockung) als auch
durch direkte Simulation mit der approximativen
effektiven Hamiltonfunktion gemessen. Im Idealfall
sollten beide Resultate übereinstimmen.
- Es wurde die Halbgruppeneigenschaft der RG
getestet. Zwei Schritte mit Blocklänge
sollten
dasselbe Resultat ergeben wie ein einzelner Schritt
mit Blocklänge 
. Dies gilt natürlich nur dann
exakt, wenn die effektiven Hamiltonfunktionen keine
Fehler durch unzulässiges Vernachlässigen
von Wechselwirkungstermen haben. Die gemessene Abweichung ist daher ein
gutes Maß für die Qualität einer
Parametrisierung.
Die Einstimmung auf das KT-Szenario begann mit einer
kleinen Studie über das Verhalten der Schichtdicke
für große Gitter.
Das von der KT-Theorie vorausgesagte Verhalten in der
rauhen Phase wurde dabei präzise bestätigt.
Für das Studium der effektiven Hamiltonfunktion wurden zuerst die
Impuls-Null-Potentiale berechnet.
Es hat sich gezeigt, daß sich diese sowohl
in Störungstheorie als auch durch Monte-Carlo-Simulation
mit fixierten Blockspins gut berechnen lassen.
Die verwirrende Vielfalt von Möglichkeiten,
die effektive Hamiltonfunktion zu nähern, eröffnet
sich erst jenseits von Impuls Null.
Es wurde zunächst ein einfacher kinetischer Term
bestimmt, der dadurch festgelegt ist, daß er bilinear
in den Feldern ist und für ein konstantes Feld verschwindet.
Aus diesem Term ließ sich dann die
Temperatur der effektiven Hamiltonfunktion bestimmen.
Tests der Güte einer solchen Approximation
nach den beiden oben beschriebenen Kriterien zeigten,
daß offenbar noch wesentliche Wechselwirkungsterme
zur Beschreibung der effektiven Theorie fehlten.
Aus diesem Grund wurden Wechselwirkungen in vierter Feldpotenz betrachtet.
Der RG-Fluß für diese Wechselwirkungen erwies sich als
konsistent mit der Annahme, daß die RG-Fixpunkte des Sine-GORDON-Modells
in der rauhen Phase freie Theorien sind.
Aber auch mit Hilfe der quartischen Wechselwirkungen konnte man zu keiner
brauchbaren Approximation der effektiven Theorie gelangen.
Die vollständige Summation über Wechselwirkungen beliebiger
Feldpotenzen in erster Ordnung Störungstheorie der Fugazität führte
zur A-Kern-Entwicklung der effektiven Theorie. Mit Hilfe dieser
Entwicklung gelangte man zu Approximationen der effektiven Theorien, die
gute Ergebnisse für die Iteration des RG-Flusses lieferten.
Es konnten zudem die Schichtdicken der effektiven Theorien mit sehr kleinen
Abweichungen reproduziert werden.
MC-Simulationen mit der exakten effektiven Theorie haben gezeigt, daß
bei entsprechender Wahl der RG-Parameter im Vergleich zur
Ausgangstheorie schon auf kleineren Gittern ein asymptotisches Verhalten
der Schichtdicke zu beobachten war.
Dieses Verhalten konnte natürlich auch mit den
effektiven Hamiltonfunktionen in der A-Kern-Approximation
erreicht werden.
Leider ist die Freude an diesem Erfolg durch die Tatsache
getrübt, daß die A-Kern-Approximationen für
praktische MC-Simulationen zu unhandlich sind.
Vielleicht kann man zusammenfassend sagen, daß es noch
neuer Ideen bedarf, um wirklich zu einer iterierbaren,
berechenbaren RG mit kleinen Fehlern zu gelangen.
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