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A Fluktuationspropagator des freien Feldes

In diesem Anhang sollen die Gleichungen () und () zur Berechnung des Fluktuationspropagators für eine masselose, freie Theorie hergeleitet werden. Dazu betrachte man zuerst den Fall einer massiven, freien Theorie mit und schreibe die Definition () um zu

Mit Hilfe der Identität

kann das Summenquadrat in eine einfache Summe umgeformt werden,

Definiert man zwei neue Felder auf dem feinen Gitter ,

so kann die Gleichung () weiter umgeformt werden zu

Führt man noch die Abkürzungen ein und setzt diese in Gleichung () ein, so gilt weiter

Logarithmieren dieser Gleichung liefert

Um das Inverse der Matrix zu berechnen, nutzt man aus, daß im Fourierraum ist. Man kann nun die Gleichung () auch kompakter schreiben als

indem man die -Matrix einführt mit . Dabei ist die sog. charakteristische Funktion definiert durch

Beschäftigt man sich nur mit massiven, freien Theorien, so ist man an dieser Stelle fertig. Für die masselose, freie Theorie muß man im Sinne der Definition () den Grenzübergang betrachten. Dazu zerlegt man den Propagator

wieder in einen divergenten Anteil und einen konvergenten Anteil . Mit Hilfe der Matrizen und

läßt sich schreiben,

Zuerst soll dieser Grenzübergang für die inverse Matrix ausgewertet werden,

Ebenso errechnet sich für die zweite Klasse von Termen,

Verbleibt noch

Faßt man die Ergebnisse aus Gleichung (), () und () zusammen, so erhält man

Verwendet man Delta-Blockspins, so muß man noch den Grenzübergang ausführen. Dazu definiert man die Matrix

und erhält nach kurzer Rechnung


spander@
Dienstag, 6. September 1994, 17:45:39 Uhr MES