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Renormierungsgruppenfluß im Kontinuum

Die Hamiltonfunktion () des Sine-GORDON-Modells besitzt die globale Symmetriegruppe der ganzen Zahlen , d. h., sie ist invariant unter Addition einer globalen Konstanten auf eine Feldkonfiguration

Überträgt man diese Funktion ins Kontinuum, indem man den Laplaceoperator () durch den Differentialoperator und die Summationen durch Integrationen ersetzt, so gelangt man wieder zu einer global -symmetrischen Hamiltonfunktion.
Ebenfalls eine globale -Symmetrie besitzt die Gruppe der Solid-on-Solid-Modelle (SOS), die für das Studium von Grenzflächen von Interesse ist. Dabei handelt es sich i. a. um zweidimensionale Gittermodelle, deren Zustandssumme vom Typ

ist. Wichtige Vertreter dieser Gruppe sind das diskrete GAUSS'sche Modell und das dazu duale XY-Modell mit VILLAIN-Wirkung [SAV80]. Von den SOS-Modellen und dem Sine-GORDON-Modell nimmt man an, daß sie zur KOSTERLITZ-THOULESS Universalitätsklasse gehören (Untersuchungen hierzu findet man z. B. in [HMP94] ).
Ein Modell im kritischen Zustand ist durch sein Verhalten bei großen Abständen charakterisiert. Eine Möglichkeit, dieses zu untersuchen, ist durch die Renormierungsgruppe (RG) gegeben. Eingeführt von KADANOFF, konnten WILSON und KOGUT sie in [WK93] als wirkungsvolles Werkzeug zur Analyse kritischer Phänomene darstellen. Am einfachsten kann man ein KT-Szenario am Beispiel des RG-Flusses des Sine-GORDON-Modells im Kontinuum zeigen. Für kleine Fugazitäten werden keine weiteren Parameter außer und zur Charakterisierung des Flusses benötigt. Für die ansteigende Längenskala ergeben sich die laufenden Parameter und aus den KT-FlußGleichungen [KT73], [KOS74]

mit

wobei die Konstante von der gewählten Cutoff-Funktion abhängt.

Die Trajektorien der Gleichung () sind die in Abbildung dargestellten hyperbolischen Funktionen . Dabei zeigen die Pfeile die Flußrichtung für die wachsende Längenskala an. Der Parameterraum wird durch die Linie in drei Gebiete unterteilt.

Die Grenze zwischen den Gebieten I und II bildet die kritische Linie . Auf ihr nähert sich der Fluß dem kritischen Punkt bzw. für große nur mit , während die Entfernung zum entsprechenden Fixpunkt im Gebiet I mit , abnimmt. Insbesondere wächst diese Geschwindigkeit des RG-Flusses im Gebiet I mit dem Parameter , d. h., ``die Modelle fallen um so schneller auf die Achse , je weiter rechts sie liegen''.
Mit Hilfe der RG-Flußgleichungen () kann man auch Aussagen über die Art des Phasenübergangs bei zwischen massiver und masseloser Phase gewinnen. Hierzu berechnet man die dimensionslose Korrelationslänge in der Umgebung des Phasenübergangs für (z. B. in [ID91])

Daraus ergibt sich nach () der singuläre Teil der freien Energie

Da alle Ableitungen der freien Energie bei stetig sind, handelt es sich hier nach der Ehrenfest-Klassifikation um einen Phasenübergang unendlicher Ordnung.



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Dienstag, 6. September 1994, 17:45:39 Uhr MES