Die effektive Theorie

Die Zustandssumme ist für Systeme mit großer Korrelationslänge i. a. auch auf endlichen Gittern schwer auszurechnen. Ein möglicher Ansatz ist, eine Theorie auf einem feinen Gitter auf eine effektive Theorie auf einem groben Gitter mit Kantenlänge derart abzubilden, daß die Zustandssummen beider Theorien gleich sind. Dabei soll die Gitterkonstante des groben Gitters um ganzzahlige Faktoren größer sein als die des feinen Gitters, so daß man die Zahl der Freiheitsgrade um den Faktor reduziert hat.

Grundgedanke einer RG-Transformation ist, daß diese Abbildung einer Theorie auf eine effektive Theorie

durch Ausintegration derjenigen Freiheitsgrade geschieht, die zu kurzreichweitigen Fluktuationen gehören. Dazu unterteile man das Gitter , wie in Abbildung angedeutet, in -Blöcke. Das Blockspin-Feld auf ist dann als Mittelwert des Feldes über diese Blöcke definiert,

(Man kann den Blockspin allgemeiner als (nichtlineares) Funktional auf definieren. Auf diese Problematik wird z. B. in [KMPS92] eingegangen. In der vorliegenden Arbeit findet ausschließlich die Definition () Anwendung.)
Zur Wahrscheinlicheit für eine Feldkonfiguration der effektiven Theorie sollen diejenigen Systemkonfigurationen der Ausgangstheorie beitragen, deren Blockspins der Feldkonfiguration entsprechen,

Man nennt diese RG-Transformation auch dementsprechend Delta-Blockspin-Transformation. Erlaubt man noch, daß die Blockspins ein wenig gegenüber dem Feld ``verschmieren'' dürfen, so kann man als eine Möglichkeit zu den GAUSS-Blockspin-Transformationen gelangen

Wie man leicht zeigen kann, ist die Zustandssumme bei Delta-Blockspins für die effektive Theorie und die Ausgangstheorie gleich; bei GAUSS-Blockspins wählt man dazu die Normierungskonstante als

Man kann zeigen, daß ein RG-Schritt die Korrelationslänge in Einheiten des Gitterabstandes um den Faktor reduziert.
Die RG-Transformation kann im Sinne der sukzessiven Ausintegration über wachsende Längenskalen iteriert werden,

Anstelle der Iteration kann man sich auch die Halbgruppeneigenschaften zunutze machen, nach der zwei RG-Transformationen mit Blockgrößen und durch eine Transformation mit der Größe ersetzt werden können. Verwendet man GAUSS-Blockspins, so muß man dabei noch den Parameter wählen als (vergl. [PIN88])

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen RG-Fluß zu definieren. Im allgemeinen setzt man dazu voraus, daß das Gitter unendlich groß ist, so daß man ohne Einschränkung unendlich oft ``blocken'' kann. Im folgenden wird jedoch öfter ein Fluß betrachtet, der eine feste Größe des Blockgitters voraussetzt. Dazu betrachte man einen Satz von Gittern , die sich in -Blöcke mit wachsender Blocklänge unterteilen lassen. Unter einen RG-Fluß versteht man dann die Menge von effektiven Hamiltonfunktionen auf dem -Gitter , die sich durch iterative RG-Schritte mit Blocklänge aus der Ausgangstheorie auf dem jeweiligen Gitter ergeben.
Anstelle der iterativen Schritte kann man auch einen einzelnen Schritt mit Blocklänge und entsprechend modifiziertem Parameter durchführen. Man beachte, daß der RG-Fluß damit von der Wahl der Gitterlänge , dem Parameter und der Blocklänge abhängt.
Bei einer kritischen Theorie kann dieser RG-Fluß für beliebig große Blöcke gegen eine Fixpunkttheorie , den sog. RG-Fixpunkt, konvergieren. Allgemein muß man dazu noch eine Reskalierung des Feldes durchführen. Für die hier untersuchten Modelle ist dies aber nicht erforderlich. Man beachte, daß eine Reskalierung des Feldes die -Symmetrie der effektiven Hamiltonfunktion abändern würde.