Störungstheoretische Berechnung

Die RG-DGL im KT-Szenario sind Gleichungen in Ordnung . Ebenso zeigt sich die Temperaturänderung auf einer Linie konstanter Physik erst ab der zweiten Ordnung Störungstheorie in für den Erwartungswert der Schichtdicke. Deshalb erfolgen die Berechnungen für das Impuls-Null-Potential auch in zweiter Ordnung. Die Normierungskonstanten müssen nicht beachtet werden, da sie nur den Wert der physikalisch nicht relevanten Kopplungskonstanten festlegen. Mit Hilfe des Fluktuationspropagators kann man nun schreiben,

Der Erwartungswert für die erste Ordnung berechnet sich zu

Ebenso ergibt sich nach kurzer Rechnung für den quadratischen Term

Betrachtet man die Entwicklung

und führt einen Koeffizientenvergleich für Terme der Form bzw. durch, so gelangt man i.a. zu einem gekoppelten, nichtlinearen Gleichungssystem für die Kopplungskonstanten . Falls man mit dem Sine-GORDON-Potential, d. h. , die RG-Transformation durchführt, entkoppeln diese Gleichungen zu

Das Impuls-Null-Potential kann also in dieser Näherung durch Angabe der beiden Kopplungen und charakterisiert werden, wobei für kleine die Kopplung vernachlässigbar gegenüber wird. In Abbildung ist das Verhältnis in Abhängigkeit der Ausgangstemperatur des kinetischen Terms für Delta-Blockspins aufgetragen.

Diese Quotienten nähern sich für große Blöcke dem Verlauf der Sprungfunktion

an. Untereinander schneiden sich alle Linien ab einer Blockgröße bei einer Temperatur aus dem Intervall . Setzt man voraus, daß auch die Linie zu unendlicher Blocklänge in diesem Bereich die anderen Linien schneidet, so wird man als Sprungtemperatur den Wert angeben können.
Die Sprungtemperatur kann genauer bestimmt werden, indem man nicht mit dem Laplaceoperator als Wechselwirkung startet, sondern zur Konvergenzbeschleunigung von Bilinearformen ausgeht, die auch höhere Potenzen von besitzen. Dazu führt man die Schwellwert-Temperatur, definiert durch , ein, denn für große Blöcke sollte diese Temperatur gerade gegen die Sprungtemperatur streben. In Abbildung sind die Temperaturen für die verschiedene Start-Hamiltonfunktionen der Form

eingetragen. Die Gleichungen wurden dazu für jede Blockgröße und Hamiltonfunktion numerisch mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens gelöst. Die Wechselwirkung legt den Bereich für die Sprungtemperatur auf das Intervall fest. Die Vorfaktoren zu den höheren Potenzen habe ich durch Ausprobieren gefunden. Durch die Variation des Vorfaktors zum -Terms zeigt sich die Konvergenzbeschleunigung der Schwellwert-Temperatur.

Man kann alle diese Berechnungen auch mit GAUSS-Blockspins durchführen; die Quintessenz ist unabhängig von der Art des Blockspins. Zum Beispiel läßt sich analog zu Abbildung eine Konvergenzbeschleunigung für einen GAUSS-Blockspin mit erreichen, indem man die Start-Bilinearform gemäß

wählt. Auch diesen Satz von Vorfaktoren habe ich durch Ausprobieren ermittelt.

Beschränkt man sich auf ein grobes Gitter , das nur aus einem Gitterpunkt besteht, kann man den Übergang zu einer Sprungfunktion auch analytisch zeigen. In diesem Fall ergibt sich der Fluktuationspropagator aus

Die Asymptotik dieses Fluktuationspropagators ist für große Gitter durch

gegeben. Somit gilt für das Kopplungsverhältnis im Grenzübergang zu beliebig großen Gittern