Wechselwirkungen zur Beschreibung der h-Kerne vierter Ordnung

Zur Verbesserung der Approximation der effektiven Theorie ist es naheliegend, einen Term der Form

mit

zu berücksichtigen. Diese Wechselwirkung enthält zwar keine Impuls-Null-Anteile mehr, ist aber i. a. nicht -symmetrisch. Damit ist er für die Untersuchung des KT-Szenarios unbrauchbar.
Eine -symmetrische Erweiterung zu den Näherungen an die effektive Theorie aus Kapitel stellt die Wechselwirkung

dar. Wählt man die gemäß Definition (), so besitzt diese Wechselwirkung auch keine Anteile des Impuls-Null-Potentials mehr. Um die Approximation

zu testen, wurde analog zu Abschnitt die Schichtdicke dieser Näherung mit der Schichtdicke der exakten effektiven Theorie verglichen. Dazu ist die Approximation () für die Starttheorie bei einem RG-Schritt mit auf einem groben -Gitter mit Hilfe der Störungstheorie erster Ordnung in berechnet worden. Anschließend habe ich den Metropolis-Filter für den MC-Algorithmus zur approximierten Theorie aus Abschnitt um den Term erweitert. Zur Beschleunigung des Programms wurde wieder mit der lokalen Version des kinetischen Terms gearbeitet. Von sind nur diejenigen Wechselwirkungen berücksichtigt worden, bei denen die Koordinaten in einem Quadrat mit Seitenlänge drei auf dem Gitter liegen. Schon diese eine RG-Transformation zeigt, daß Erweiterungen der Form () zu keiner Verbesserung der Approximationen führen, denn die hiermit ermittelte Schichtdicke ergibt sich als . Für die exakte effektive Theorie wurde in Abschnitt der Wert angegeben; es zeigt sich noch nicht einmal eine signifikante Verbesserung zu der Näherung ohne -Term mit .
Ein weiterer Versuch bestand darin, anstelle von () einen Term der Art

zu benutzen, wobei mit die Summe über die nächsten Nachbarn gemeint ist. Dies kann man in eine Wechselwirkung der Form () umschreiben,

Der Kern ist nur für drei Wechselwirkungsarten ungleich null,

Man wählt den Parameter so, daß die Abweichung von der Matrix aus Definition ()

minimiert wird. Untersucht wurde die Qualität dieser Approximation unter den gleichen Bedingungen wie für die Hamiltonfunktion (). Wie Abbildung zeigt, trägt die Wechselwirkung zur Verbesserung der Approximation an die exakte effektive Theorie bei. Allerdings bleibt auch diese Näherung an die effektive Theorie unvollständig, was auch nicht weiter verwundert, da nur drei Wechselwirkungstypen des -Kerns vierter Ordnung berücksichtigt wurden.

Eine Möglichkeit ist nach diesem Schema, auch übernächste Nachbarwechselwirkungen etc. in die approximierte effektive Theorie einzubauen. Abgesehen vom steigenden numerischen Aufwand ist dieser Ansatz allein nicht erfolgversprechend. Denn man gelangt in Abschnitt zu den selben negativen Aussagen über die Qualität der Approximation, wenn man die effektive Hamiltonfunktion ansetzt als Differenz aus einem Impuls-Null-Potential und einem beliebigen -symmetrischen generalisierten kinetischen Term. Damit gibt es mindestens noch einen wichtigen - aber nicht -symmetrischen Wechselwirkungstypus.