Wünschenswert ist es, anstelle der störungstheoretischen Ausdrücke zu einer Approximation zu gelangen, bei der alle Kopplungskonstanten durch MC-Simulationen des RG-Schrittes bestimmt werden können. Einen Ansatz hierfür bietet die Beobachtung, daß
ist. Dies ist um so besser erfüllt, je weiter die Blöcke und voneinander entfernt sind. Man ersetzt deshalb den Ausdruck durch das Element einer -Matrix . Zudem berücksichtigt man, daß für die erste Ordnung Störungstheorie in die effektive Fugazität durch berechnet wird. So gelangt man anstelle von Gleichung () zu einer Näherung des effektiven Potentials in der Form
Um die Kopplungskonstanten dieser Näherung durch MC-Simulationen zu ermitteln, bestimmt man zuerst nach den Methoden aus Abschnitt die effektive Fugazität des Impuls-Null-Potentials für und . Im Anschluß daran führt man eine zweite, von der ersten statistisch unabhängige MC-Simulation durch, mit deren Hilfe man den Kern mißt. Der Anteil des Potentials () an diesem -Kern zweiter Ordnung ergibt sich nach
Mit Hilfe des analytisch berechenbaren Anteils des RG-Flusses einer freien Theorie läßt sich der -Kern schreiben als
Dieses nichtlineare, gekoppelte Gleichungssystem kann nun genutzt werden, um die Matrix zu bestimmen. Dazu reicht es wegen der Symmetrie aus, das Gleichungssystem
in den Parametern zu lösen. Zur Lösung dieser Gleichungen hat sich das iterative Fixpunktkonvergenzverfahren
bewährt. Dabei ist der konvergenzerzeugende Faktor entscheidend, der je nach
RG-Transformation zwischen 2 und 25 gewählt wurde.
Es ist naheliegend, analog zur Approximation () die Schichtdicke
der Näherung
mit den Schichtdicken der exakten, effektiven Hamiltonfunktion zu vergleichen. Man kann dabei beobachten, daß die Kopplungen mit wachsender Entfernung sehr schnell abfallen. Um die MC-Algorithmen zu den Hamiltonfunktionen der Form () zu beschleunigen, führte ich deshalb statt mit der Matrix die Simulationen mit der lokalen Version durch. Dadurch wurde die -Symmetrie des Potentials () gebrochen, allerdings waren die Abweichungen mit
für alle durchgeführten MC-Simulationen sehr gering. Ebenso wurde
nicht der gesamte -Kern gemessen, sondern es wurde mit
der lokalen Version gearbeitet.
Auch hier zeigt sich anhand von Tabelle eine gute Übereinstimmung der
Schichtdicke einer Approximation
nach Gleichung () und der Schichtdicke der exakten, effektiven Theorie.
Als zweiter Test für die Qualität der Näherung () soll die
Iterierbarkeit der RG untersucht werden. Dazu benötigt man einen MC-Algorithmus, der
Feldkonfigurationen mit der Verteilung
mit Hamiltonfunktionen nach Gleichung () generiert.
Die bisherige Technik, den kinetischen Anteil durch einen Wärmebad-Algorithmus zu
simulieren und anschließend das (verallgemeinerte) Potential durch einen
Metropolis-Filter aufzuprägen, scheitert für diese Klasse von Hamiltonfunktionen schon
für kleine Fugazitäten an der sehr geringen Akzeptanzrate des Metropolis-Filters.
Aus diesem Grund konzipierte ich den MC-Algorithmus für die Verteilung () als
reinen Metropolis-Algorithmus.
Zuerst wurden mit den Algorithmen aus Kapitel 3 für die Blocklängen
auf dem groben Gitter mit
jeweils das Impuls-Null-Potential und der -Kern
durch MC-Simulationen gemessen. Ausgangspunkt war wiederum das Sine-GORDON-Modell
und der Parameter
Zum Vergleich sind bei gleichen Startbedingungen zwei iterative RG-Transformationen mit Blocklänge und Parameter durchgeführt worden. Die Näherung an die effektive Theorie lieferte jeweils Gleichung (), die dann als Starttheorie für den nächsten RG-Schritt diente. (Um die Rechenzeit der MC-Simulationen zu verkürzen, wurde wieder mit den lokalen Versionen und gearbeitet.) Die Tabellen () und () listen die Werte der -Kerne der effektiven Theorie für die betragsmäßig größten Wechselwirkungen
und deren effektiven Temperaturen gemäß Abschnitt auf. (Die Fehlerangaben bei den Meßwerten aus der Iteration beinhalten nicht die Fehlerfortpflanzung zu den vorangegangenen MCRG-Transformationen.)
Man erkennt die gute Übereinstimmung derjenigen Kopplungen,
die durch eine Iteration mit der Approximation () gewonnen wurden, mit
denjenigen Werten, die man anhand eines einzigen, zur Iteration mit der
exakten, effektiven Theorie äquivalenten RG-Schrittes erhält.
Damit wird die effektive Theorie zu einem Sine-GORDON-Modell mit kleiner Fugazität in guter
Näherung durch () beschrieben. Vorteil dieser Approximation ist die
relativ geringe Anzahl von Kopplungskonstanten, die zudem durch die -Kerne erster
und zweiter Ordnung bestimmt werden können. Für MC-Simulationen mit dieser Approximation
wirkt sich aber die starke Nichtlokalität des Potentials nachteilig aus.