Wie schon erwähnt, sind die RG-DGL im KT-Szenario und auch die Temperaturänderungen auf
einer Linie konstanter Physik von der Ordnung . Eine Herleitung zur
vollständigen Aufsummation aller
-Kerne für die Störungstheorie in Ordnung
ist aufwendig. Es gibt aber einen von der Entwicklung der effektiven Theorie in
-Kerne
unabhängigen Zugang über die sog. A-Kerne [GK80], für die eine Berechnung der
verallgemeinerten Potentiale in Ordnung
dasselbe Ergebnis liefert wie
Gleichung (
). Auch die zweite Ordnung ist mit relativ wenig Aufwand
berechenbar.
Zuerst drückt man die Zustandssumme des Sine-GORDON-Modells mit Hilfe eines
GAUSS'schen Maßes zum Propagator durch
aus
und schreibt die effektiven Hamiltonfunktionen mit Hilfe der charakteristischen Funktion
dem Blockmittelungsoperator
und der Norm
als
Dann zerlegt man das Feld in einen durch das Blockspinfeld
bestimmten
Anteil
und ein Fluktuationsfeld
,
Dabei soll als Minimum der Funktion
gerade die wahrscheinlichste Feldkonfiguration
für das Potential beim Blockspinfeld
sein.
Man definiert dementsprechend den A-Kern
,
der ein Blockspinfeld auf dieses Minimum der Funktion
abbildet.
Durch Einsetzen kann man jetzt die Gleichung
mit den Abkürzungen
verifizieren. In dieser Form erkennt man, daß die Funktion ihr Minimum
bei der Feldkonfiguration
annimmt. Mit der Aufteilung
(
) kann man die Bilinearform separieren in
Definiert man in Anlehnung an Kapitel 2 noch , ergibt sich nach kurzer Rechnung
für die Kovarianz
Der Vergleich mit Gleichung () macht deutlich, daß es sich bei dieser
Matrix um den in Kapitel 2 eingeführten Fluktuationspropagator handelt. Dieser Name beruht
demnach mit Gleichung () auf der Tatsache, daß die Kovarianz
die Propagation des Fluktuationsfeldes
beschreibt. Somit stellt sich nach
Gleichung (
) die Bilinearform
als effektive Hamiltonfunktion zur freien Theorie
heraus. Betrachtet man die Fouriertransformierten und benutzt die Faltungsformel
(
) für GAUSS'sche Maße
so gilt mit dem Feld ,
Auch bei diesem Zugang läßt sich die effektive Hamiltonfunktion aufteilen in den Fluß einer freien Theorie und den Fluß eines verallgemeinerten Potentials
Letzteres kann nun in Ordnung störungstheoretisch berechnet werden,
Damit stimmt die so approximierte effektive Hamiltonfunktion mit dem Ergebnis in
Gleichung () für die vollständige Aufsummation der -Kerne
in Ordnung
überein.
Für die Störungstheorie in Ordnung berechnet man zuerst
Entwickelt man den Ausdruck
und vergleicht dieses mit Gleichung (), so findet man
Ermittelt man dann den Impuls-Null-Anteil, ergibt sich
mit den effektiven Fugazitäten
Im Vergleich mit den Gleichungen () stellt sich
dieses Potential in der Ordnung
als Verallgemeinerung des
Impuls-Null-Potentials zur gleichen Ordnung heraus.
Um die Güte dieser Approximation der effektive Theorie zu prüfen, müßte
man MC-Simulationen mit diesem Potential durchführen. Wegen der starken
Nichtlokalität und der Doppelsumme über das gesamte Gitter im -Term werden
solche Simulationen schon auf kleinen Gittern sehr aufwendig. Zudem ist für die
Untersuchung der Iterierbarkeit im Vergleich mit den Tabellen (
) und
() anzunehmen, daß die Korrektur gegenüber der Ordnung in den
Fehlertoleranzen untergeht. Für den Erwartungswert der Schichtdicke
wird im nächsten Kapitel eine Simulation mit dieser Approximation auf
einem feinen
-Gitter vorgestellt; es zeigt sich
eine signifikante Verbesserung gegenüber der A-Kern-Entwicklung in Ordnung
.
