Darstellungen von ${\cal{P}}$: Fall $m\,=\,0$

F�r masseloses System: $\vec{p}^{\,2}\,=\,0$, d. h. Viererimpuls $\overline{p}$ ,,lichtartig``; dann o. B. d. A.

$$\{\overline{p}^{\,\sigma}\}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}\,\,;\quad \{\overline{p}_{\sigma}\}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,-p\}$$ (5.1)

$$W^{\mu}\vert _{\overline{p}}\quad\to\quad\frac{p}{2}\,[ \varepsi... ...silon^{\mu\kappa\lambda 3}]\,M_{\kappa\lambda}\qquad\,\,\,\,\,\,\hspace{3.7cm}$$ (5.2)

$$W^{0}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad -p\,M_{12}\,=\,-p\,M^{12}\,=\, +p\,J^{3}\hspace{3.75cm}$$ (5.3)

$$W^{1}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad p\,(\,\underbrace{M_{20... ...o\quad p\,(\,\underbrace{-M_{01}}_{-K^{1}}\,\underbrace{-\,M_{31}}_{+J^{2}}\,)$$ (5.4)

$$W^{3}\vert _{\overline{p}}\quad \to\quad -p\,M_{12}\,=\,+p\,J^{3} \hspace{5.7cm}$$ (5.5)

Man pr�ft nach:

$$W^{\mu}\,P_{\mu}\vert _{\overline{p}}\,=\, p\,(W^{0}\,-\,W^{3})\vert _{\overline{p}}\,=\, p^{2}\,(J^{3}\,-\,J^{3})\,=\,0\,\,.$$

Insgesamt:

$$n_{\mu}\,W^{\mu}\vert _{\overline{p}} = (pn^{0})\,J^{3}\,-\,(pn^{1})\,(J^{1}\,+\,K^{2})\,-\,(pn^{2})\,(J^{2}\,-\,K^{1})\,-\,( pn^{3})\,J^{3}$$

$$= (pn^{0}\,\vec{e}_{3})\,\cdot\,\vec{J}\,-\,(p\vec{n}\,)\,\cdot\,(\vec{J}\,-\, \vec{e}_{3}\,\times\,\vec{K})$$

$$= [p\,(n^{0}\,\vec{e}_{3}\,-\,\vec{n}\,)]\,\cdot\,\vec{J}\,+\, [p\,(\vec{n}\,\times\,\vec{e}_{3})]\,\cdot\,\vec{K}$$ (5.6)

Als Vertauschungsrelation der $W^{\mu}$ auf $\overline{p}$-Unterraum berechnet man

$$[W^{1},\,W^{2}]\vert _{\overline{p}} = p^{2}\,[J^{1}\,+\,K^{2}\,\,,\,J^{2}\,-\,K^{1}]$$

$$= p^{2}\,([\,\underbrace{J^{1},\,J^{2}}_{i\,J^{3}}\,]\,+\,[\, \underbrace{K^{1},\,K^{2}}_{-i\,J^{3}}\,])\,=\,0\,\,,$$ (5.7)

$$[W^{2},\,W^{3}]\vert _{\overline{p}}\,=\,p^{2}\,[J^{2}\,-\,K^{1},\,J^{3}]\,=\, i\,p^{2}\,(J^{1}\,+\,K^{2})\,=\,i\,p\,W^{1}\vert _{\overline{p}}$$ (5.8 a)

$$[W^{3},\,W^{1}]\vert _{\overline{p}}\,=\,p^{2}\,[J^{3},\,J^{1}\,+\,K^{2}]\,=\, i\,p^{2}\,(J^{2}\,-\,K^{1})\,=\,i\,p\,W^{2}\vert _{\overline{p}}$$ (5.8 b)

D. h.: auf masselosem $(\overline{p}^{\,2}\,=\,0$) Darstellungsraum sind VR von $W^{\mu}$ (wobei $W^{0}\,=\,W^{3}$) die der zweidimensionalen euklidischen Gruppe $E\,(2)$, mit $W^{1},\,W^{2}$ als kommutierenden ,,Translationsgeneratoren`` und $W^{3}\,\propto\,J^{3}$ als Generator der Drehungen, in Ebene senkrecht zu $\vec{p}$. Derselbe Schluss auch direkt aus allgemeinen VR registriert auf $\vec{p}$:

$$[W^{\mu},\,W^{\nu}]\vert _{\overline{p}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}}\,=... ...p\,(\varepsilon^{\mu\nu\rho 0}\,-\,\varepsilon^{\mu\nu\rho 3})\, W_{\rho}\,\,,$$

z. B.:

$$[W^{1},\,W^{2}]\vert _{\dots}\,=\,-i\,p\,\varepsilon^{0123}\,(W_{0}\,+\,\underbrace{ W_{3}}_{=-W^{3}}\,)\,=\,0\,\,,$$ (5.9)

usw. Konsequenz: $(W^{1})^{2}\,+\,(W^{2})^{2}\vert _{ \overline{p}}$ kann (wie $(P^{1})^{2}+\,(P^{2})^{2}$ in der $E\,(2))$ beliebige positive Eigenwerte haben

$$\vec{W}^{\,2}\vert _{\overline{p}}\,\,$$ (5.10)

Da Zust„nde mit kontinuierlicher Spinbetragsquantenzahl in der Natur nicht beobachtet, Beschr„nkung der physikalischen Zust„nde auf Nullraum von $W^{1,2}$:

$$W^{1}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0\,\,,\quad W^{2}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0\,\,, \quad \overline{p}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\}$$ (5.11)

(Allgemeiner: $(\hat{\overline{p}}\,\times\,\vec{W})\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,0$, wenn $\overline{p}\,=\,\{\vert\vec{p}\,\vert,\,\vert\vec{p}\,\vert\,\cdot\,\hat{\overline{p}}\}).$ Dann insgesamt

$$W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}\,=\,\left(... ...}\,\cdot\,\overline{p}^{\,\mu}\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\dots\rangle}$$ (5.12)

$$=\,\left(\frac{\vec{p}\,\cdot\,\vec{J}}{\vert\vec{p}\,\vert}\right)\,P^{\mu}\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\dots\rangle}\quad\,\,\,$$ (5.13)

f�r $\overline{p}^{\,\mu}\,=\,\{p,\,0,\,0,\,p\},\,\overline{p}^{\,2}\,=\,0$. ,,Helizit„tsoperator`` (Spinkomponente in Impulsrichtung)

$$h\,:=\,\hat{p}\,\cdot\,\vec{J}$$ (5.14)

Damit allgemein $W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\... ...^{\mu}\,h\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\dots\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}$ ; w„hlt man Zustand zus„tzlich als Eigenzustand dieser Spinkomponente,

$$h\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overline{p}^... ...\,\ensuremath{\vert \overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\,\,,$$ (5.15)

dann f�r physikalische Zust„nde

$$\shadowbox{ $W^{\mu}\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\ra... ...ine{p},\,\lambda\rangle}\,\,,\quad \text{wenn}\quad \overline{p}^{\,2}\,=\,0$}$$ (5.16)

Da alle 4 $W^{\mu}$ diagonal, gibt es keine Verschiebeoperatoren mehr, die $\lambda$ „ndern, ohne den Eigenraum zu $\vec{p}$ zu verlassen, d. h. irreduzible Darstellung hat einen einzigen Helizit„tswert $\lambda$. ^*) Darstellung der Parit„t bei $P^{2}\,=\,0$: Da $h$ Pseudoskalar, $T\,(P)\,h\,T\,(P)^{-1}\,=\,-h$, ist

$$T\,(P)\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,\lambda\rangle}_{\overlin... ...o\,\ensuremath{\vert\overline{p},\,-\lambda\rangle}_{\overline{p}^{\,2}=0}\,\,,$$ (5.17)

eine andere irreduzible Darstellung. Existiert sie als physikalischer Zustand, dann auf direkter Summe ( $\lambda)\,\oplus\,(-\lambda)$ Parit„t darstellbar, wenn nicht, ist ein Drehsinn in der Natur ausgezeichnet (,,die Parit„t gebrochen``).