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\begin{document}

\begin{center}
{\bf\Large "Ubungen zur
Quantentheorie
(WS 2008/2009)}\\[3ex]
{\bf\Large Blatt 5}
\end{center}
\vspace{5mm}

{\bf\large Aufgabe 1:
Clebsch-Gordan-Koeffizienten} (12 Punkte)
\begin{itemize}
 \item[{\bf a)}] Zeigen Sie f"ur zwei Drehimpulse $\vec{J}^{\, (1)}$ und
	$\vec{J}^{\, (2)}$:
	\begin{equation*}
	 \left(\vec{J}^{\, (1)} + \vec{J}^{\, (2)}\right)^2 
	= \left(\vec{J}^{\, (1)}\right)^2 + \left(\vec{J}^{\, (2)}\right)^2 
	+ 2\vec{J}_3^{\, (1)}\vec{J}_3^{\, (2)} + J_+^{(1)}J_-^{(2)} + J_-^{(1)}J_+^{(2)}.
	\end{equation*}
	Die Notation $J_+$ und $J_-$ steht f"ur die jeweiligen Auf-- und
	Absteigeoperatoren.
 \item[{\bf b)}] Ein Elektron mit Spin $\frac{1}{2}$ habe den Bahndrehimpuls $l=1$.
	Ermitteln Sie die m"oglichen Eigenzust"ande des Gesamtdrehimpulses
	und berechnen Sie die zugeh"origen Clebsch-Gordan-Koeffizienten,
	indem Sie das Quadrat des Gesamtdrehimpulses $\vec J^{\, 2}$ auf die in
	Frage kommende Linearkombination von Zust"anden anwenden.\\
	\textit{Hinweis: }Benutzen Sie das Ergebnis aus {\bf a)} und verwenden Sie
	die "`Condon-Shortley-Konvention"'
	\begin{eqnarray*}
 	J_+|j, m\rangle &=& \hbar \left( j(j+1) - m(m+1) \right)^{1/2} 
	|j, m + 1\rangle, \\
 	J_-|j, m\rangle &=& \hbar \left( j(j+1) - m(m-1) \right)^{1/2} 
	|j, m - 1\rangle. \\
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

{\bf\large Aufgabe 2:
Parit"at der Kugelfl"achenfunktionen} (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass f"ur die 
Kugelfl"achenfunktionen $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ die Beziehung
\begin{equation*}
 \Pi Y_{lm}(\theta, \varphi) = (-1)^l Y_{lm}(\theta, \varphi)
\end{equation*}
gilt, wobei $\Pi$ der Parit"atsoperator ist.
\vspace{5mm}

{\bf\large Aufgabe 3:
Stark--Effekt} (8 Punkte)

Ein Wasserstoffatom befinde sich in einem statischen elektrischen Feld 
$E$, das entlang der $z$-Achse ausgerichtet ist. Das f"uhrt zu einem Term
\begin{equation*}
 H_E = - \lambda Ez
\end{equation*}
im Hamilton--Operator. Man beachte dabei, dass f"ur elektrische Felder, 
wie sie typischerweise in Labors erzeugt werden, $H_E \ll H_0$ erf"ullt 
ist, wobei $H_0$ der Hamilton--Operator des freien Wasserstoffatoms sei.
Diese St"orung des Systems hebt die Degeneriertheit mancher Zust"ande 
des Wasserstoffs auf; dies ist als "`Stark--Effekt"' bekannt.
\begin{itemize}
 \item[{\bf a)}] Argumentieren Sie, warum die Matrixelemente von $H_E$
 nur zwischen Zust"anden mit entgegengesetzten Parit"aten 
nicht verschwinden.
 \item[{\bf b)}] Berechnen Sie den Stark--Effekt f"ur ein Wasserstoffatom 
im Zustand $n=2$ mit Hilfe der St"orungstheorie f"ur entartete Zust"ande.
W"ahlen Sie dazu zwei Zust"ande so, dass der Effekt nicht
verschwindet.
\end{itemize}

\end{document}