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\begin{document}

\begin{center}
{\bf\Large "Ubungen zur
Quantentheorie
(WS 2008/2009)}\\[3ex]
{\bf\Large Blatt 8}
\end{center}
\vspace{5mm}

{\bf\large Aufgabe 1:
Zweifach besetzter Oszillator} (6 Punkte)

Zwei nicht miteinander wechselwirkende, spinlose Teilchen bewegen sich in einem
Oszillator--Potenzial $V(x) = \frac{m\omega^2}{2}x^2$ in einer Dimension.
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}]
Wie lautet der Grundzustand des Gesamtsystems, wenn es sich
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] um Fermionen handelt oder
\item[$\bullet$] die Teilchen Bosonen sind?
\end{itemize} (2 Punkte)
%
\item[{\bf b)}]
Berechnen Sie den Erwartungswert $\langle (x_1 - x_2)^2\rangle$
f"ur den Zustand der Energie $E=2\hbar\omega$ in den beiden F"allen.
Interpretieren Sie das Ergebnis. (4 Punkte)
\end{itemize}

{\bf\large Aufgabe 2:
Variationsrechung} (6 Punkte)

Bestimmen Sie mit Hilfe des Ritz'schen Variationsverfahrens eine obere
Schranke f"ur die Grund\-zu\-stands\-ener\-gie des Wasserstoffatoms mit dem
Hamilton-Operator $H$. Verwenden Sie $\psi(\vec r,\lambda)=N\E^{-\lambda r}$
als Testfunktion.
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}]
Berechnen Sie die Normierungskonstante $N$ von $\psi(\vec r,\lambda)$. (1 Punkt)
%
\item[{\bf b)}]
Ermitteln Sie
\begin{equation*}
E(\lambda) = \frac{\langle\psi|H|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle}.
\qquad \text{(2 Punkte)}
\end{equation*}
{\em Hinweis:} Es gilt
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty}dx\,x^n\,\E^{-ax}
= \frac{n!}{a^{n+1}} \quad \mbox{f"ur} \quad a>0 \quad \mbox{und} 
\quad n\in\mathbf{N}.
\end{equation*}
%
\item[{\bf c)}]
F"ur welchen Wert von $\lambda$ wird $E(\lambda)$ minimal? Bestimmen Sie
die minimale Energie. (2 Punkte)\\
{\em Hinweis:}
\begin{equation*}
\tilde{R}_{H} = \frac{m e^{4}}{2\hbar^{2} (4\pi\varepsilon_{0})^{2}}.
\end{equation*}
%
\item[{\bf d)}]
Begr"unden Sie das Ergebnis. (1 Punkt)
\end{itemize}

\pagebreak

{\bf\large Aufgabe 3:
Eichtransformationen} (6 Punkte)

Die Eichtransformationen des Vektorpotenzials und des skalaren Potenzials
sind durch
\begin{equation*}
\vec A^{\prime}(\vec r,t)
= \vec A(\vec r,t)\,+\,\vec\nabla\Lambda(\vec r,t)
\quad \mbox{und} \quad
\Phi^{\prime}(\vec r,t)
= \Phi(\vec r,t)\,
-\,\frac{\partial}{\partial t}\Lambda(\vec r,t)
\end{equation*}
 gegeben. Die Wellenfunktion transformiert sich gem"a"s
\begin{equation*}
\psi^{\prime}(\vec r,t)
= \E^{\I\frac{e}{\hbar}\Lambda(\vec r,t)}\psi(\vec r,t).
\end{equation*}
Dabei ist $\Lambda(\vec r,t)$ die sogenannte Eichfunktion und gen"ugend
h"aufig differenzierbar.
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}]
Zeigen Sie, dass f"ur $\psi^{\prime}(\vec r,t)$ die Schr"odingergleichung
mit dem eichtransformierten Hamiltonoperator $H^{\prime}$ gilt. (2 Punkte)
%
\item[{\bf b)}]
Wie transformieren sich die Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho(\vec r,t)$ und
der Wahrscheinlichkeitsstrom
\begin{equation*}
\vec j(\vec r,t)
= \frac{\hbar}{2\I m} \left( \psi^*(\vec r,t) \vec\nabla \psi(\vec r,t)
- \left( \vec\nabla \psi^* (\vec r,t) \right) \psi(\vec r,t) \right)
- \frac{e}{m} \vec A(\vec r,t)\, \psi^*(\vec r,t) \psi(\vec r,t)?
\end{equation*}
Beh"alt die Kontinuit"atsgleichung im transformierten System ihre G"ultigkeit? 
(4 Punkte)
\end{itemize}

{\bf\large Aufgabe 4:
Teilchen im EM--Feld} (8 Punkte)

Die Bewegung eines (spinlosen) Elektrons sei derart eingeschr"ankt, dass es sich
auf einem Kreis mit Radius $R$ in der $xy$--Ebene, symmetrisch um die $z$--Achse
bewegt; d.h.~es handelt sich um ein eindimensionales Problem. Durch den Ursprung
und in $z$--Richtung gebe es einen konstanten magnetischen Fluss $\Phi$.
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}]
Finden Sie das zugeh"orige Vektorpotenzial $\vec{A}$, und zwar in der 
Eichung, in der $|\vec{A}|$ auf dem Kreis konstant ist. (2 Punkte)
%
\item[{\bf b)}]
Stellen Sie f"ur dieses System die Schr"odingergleichung in 
Zylinderkoordinaten auf. (2 Punkte)
%
\item[{\bf c)}]
Finden Sie die Eigenzust"ande und die zugeh"origen Energien des 
Elektrons. Gehen Sie daf"ur davon aus, dass die Wellenfunktion und ihre
Ableitung periodisch in der Winkelvariablen $\varphi$ sind. (4 Punkte) 
\end{itemize}

\end{document}