\documentclass[a4paper,twoside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}   % fuer UNIX
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[ansinew]{inputenc}  % fuer Windows
\usepackage[T1]{fontenc}        % fuer korrekte Trennung mit Umlauten
\usepackage{german}
\usepackage{epic}
\usepackage{eepic}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fancybox}
%\usepackage[dvips]{epsfig}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\textheight24.0cm     %adjust according to your needs
\textwidth16.0cm      %adjust according to your needs
%
\oddsidemargin21.0cm
\addtolength{\oddsidemargin}{-\textwidth}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5\oddsidemargin}
\setlength{\marginparwidth}{0.95\oddsidemargin}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0in}
\setlength{\evensidemargin}{\oddsidemargin}
\marginparsep 8pt \marginparpush 5pt
\topmargin -1.5cm
\headheight 12pt
\headsep 30pt
\footskip 24pt
%
\parskip0.25cm\parskip1.5ex plus 0.5ex minus 0.5ex
\setlength{\parindent}{0cm}
%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
%
\setlength{\unitlength}{1mm}
%
\thispagestyle{empty}
\sloppy
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\I}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
\newcommand{\E}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\def\wu#1{\sqrt{{#1}\!\;\,}^{\!\;\!\rule[-.1ex]{.04em}{.5ex}}\;\!}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\begin{center}
{\bf\Large "Ubungen zur
Quantentheorie
(WS 2008/2009)}\\[3ex]
{\bf\Large Blatt 9}
\end{center}
\vspace{5mm}

{\bf\large Aufgabe 1:
Gedrehter Stern-Gerlach-Apparat} (8 Punkte)

Ein Strahl aus Spin-$\frac{1}{2}$ Teilchen, welche in dem Eigenzustand
\glqq{}up\grqq{} der $z$-Komponente des Spins präpariert sind, wird in einem
Stern-Gerlach-Apparat $E$ in die Eigenzustände $E_+$ und $E_-$ des Spins
bezüglich der Richtung $\vec e = (\sin\vartheta,0,\cos\vartheta)$
aufgespalten:

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.0006in}
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined%
\gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
{\renewcommand{\dashlinestretch}{30}
\begin{picture}(4299,1341)(0,-10)
\path(3537,1014)(4287,1014)
\path(2787,1014)(3537,1014)
\blacken\path(3417.000,984.000)(3537.000,1014.000)(3417.000,1044.000)(3417.000,984.000)
\path(762,714)(1512,714)
\path(12,714)(762,714)
\blacken\path(642.000,684.000)(762.000,714.000)(642.000,744.000)(642.000,684.000)
\path(1512,1314)(2787,1314)(2787,39)
        (1512,39)(1512,1314)
\path(3537,339)(4287,339)
\path(2787,339)(3537,339)
\blacken\path(3417.000,309.000)(3537.000,339.000)(3417.000,369.000)(3417.000,309.000)
%\put(3387,39){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}$E_-$}}}}}
%\put(3387,714){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}$E_+$}}}}}
%\put(1962,564){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{\SetFigFont{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}$E$}}}}}
\put(530,380){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{$|+\rangle$}}}}}
\put(3387,39){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{$E_-$}}}}}
\put(3387,714){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{$E_+$}}}}}
\put(1962,564){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{{$E$}}}}}
\end{picture}
}
\end{center}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item[{\bf a)}]
Durch welche Spinoren werden die Zustände $E_+$ und $E_-$ beschrieben? (2
Punkte)
%
\item[{\bf b)}]
Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man beim Durchgang eines einzelnen
Teilchens den Zustand $E_+$, mit welcher $E_-$? (2 Punkte)
%
\item[{\bf c)}]
Die beiden Strahlen $E_+$ und $E_-$ werden wieder zusammengeführt (zur
Interferenz gebracht). Welcher Zustand ergibt sich? (2 Punkte)
%
\item[{\bf d)}]
In den Strahl $E_-$ wird eine Apparatur eingefügt, welche die Teilchen im
Ortsraum um einen Winkel von 360$^\circ$ dreht. Welcher Zustand ergibt
sich, wenn der so manipulierte Strahl $E_- '$ mit $E_+$ zur Interferenz
gebracht wird? (2 Punkte)
\end{itemize}
\vspace{1mm}

{\bf\large Aufgabe 2:
Theorem von Ehrenfest (Drehimpuls)} (4 Punkte)

Berechnen Sie, analog zum Beweis des Ehrenfest'schen Theorems, f"ur ein
Teilchen im konservativen Kraftfeld die Gr"o"se $\frac{d}{dt}
\langle\vec{L}\rangle$, wobei $\vec{L}$ der Drehimpulsoperator ist.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem der klassischen Mechanik.
\vspace{5mm}

{\bf\large Aufgabe 3:
Heisenberg'sche Bewegungsgleichungen (HO)} (6 Punkte)
\begin{itemize}
\item [{\bf a)}]
Stellen Sie f"ur den harmonischen Oszillator $H = \frac{1}{2m} P^{2}
+ \frac{m \omega}{2}^{2} Q^{2}$ die Heisenberg'schen Bewegungsgleichungen
f"ur $a(t), a^{+}(t), P(t)$ und $Q(t)$ auf. (2 Punkte)
\item[{\bf b)}]
L"osen Sie die Bewegungsgleichungen f"ur $a(t)$ und $ a^{+}(t)$. Bestimmen
Sie damit $Q(t)$ und $P(t)$. (4 Punkte)
\end{itemize}

\end{document}