... identifizieren.¹

Bose-Oszillator:

$$H_B=\displaystyle \frac{\hat{p} ^2}{2m} + \displaystyle \frac... ...} \hat{q} ^2 = \hbar \omega (b^+b^-+1/2)=\hbar \omega (N_B+1/2)$$

mit $b^\pm =\sqrt{\displaystyle \frac{m\omega }{2\hbar }}\cdot (\hat{q} \mp \displaystyle \frac{i\hat{p} }{m\omega }) \qquad [b^\pm =(b^\mp )^\dagger ]$ und $N_B=b^+b^-$

mit $[ \hat{q} ,\hat{p} ] =i\hbar$ erhält man

Vertauschungsrelation: $[b^-,b^+]=1 \hspace{0.2cm} ;\hspace{0.2cm} [b^+,b^+]=[b^-,b^-]=0$ $\Rightarrow$ Bose-Oszillator

$E_{n_B}=\hbar \omega (n_B+1/2) \qquad n_B=0,1,2,....$

Fermi-Oszillator:

$$H_F=i\omega \hat{\psi } \hat{\pi }=-\displaystyle \frac{\hbar \omega }{2} \cdot (f^-f^+-f^+f^-)=\hbar \omega \cdot (N_F-1/2)$$

mit $f^\pm = \frac{1}{\sqrt{2\hbar }} \cdot (\hat{\psi }\mp i\hat{\pi}) \qquad [f^\pm =(f^\mp)^\dagger ]$ und $N_F=f^+f^-$

mit $\{ \hat{\psi},\hat{\pi} \} = 1 \qquad \{ \hat{\psi},\hat{\psi} \} =\{ \hat{\pi},\hat{\pi} \} = 0$ erhält man

Anti-Vertauschungsrelation: $\{ f^-,f^+\} =1 \hspace{0.2cm} ;\hspace{0.2cm} \{ f^+,f^+\} =\{ f^-,f^-\} =0$ $\Rightarrow$ Fermi-Oszillator

$E_{n_F}=\hbar \omega (n_F-1/2) \qquad n_F=0,1$

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...)²

$$Q_1\left \vert 1+\right >= Q_1(\left \vert E0 \right > + \lef... ...ht > + \left \vert E0 \right >)=\sqrt{E} \left \vert 1+ \right>$$

$Q_1\left \vert 1-\right >= Q_1(\left \vert E0 \right > - \left \vert E1 \right ... ...t \vert E1 \right > - \left \vert E0 \right >)=-\sqrt{E} \left \vert 1- \right>$

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