Lineare Bose-Fermi-Supersymmetrie (,,SUSY-Oszillator``)

Die Tatsache, daß der Hamiltonoperator $H_S$ die Einheit einer Energie besitzen muß (z.B. $\hbar \omega$), führt zu einem entsprechenden Vorfaktor $\sqrt{\hbar \omega}$ für die hermiteschen Operatoren $Q_1$ und $Q_2$ bzw. somit auch für $Q_-$ und $Q_+$ ,und man erhält mit $[b,f]=0$ und den fundamentalen Vertauschungsrelationen:

$$H_S = \hbar \omega \{b^-f^+,b^+f^- \}$$

$$= \hbar \omega (b^-b^+f^+f^-+b^+b^-f^-f^+)$$

$$= \hbar \omega [(1+b^+b^-)f^+f^- + b^+b^-(1-f^+f^-)]$$

$$= \hbar \omega (b^+b^- + f^+f^-) = \hbar \omega (N_B + N_F)$$

$$= H_B + H_F$$

Dieses läßt sich auch als $H_S = \hbar \omega (b^+b^-+1/2) + \hbar \omega (f^+f^--1/2)$ schreiben und man kann somit den linearen supersymmetrischen Hamiltoperator als Verknüpfung eines Bose-Oszillator (quantenmechanische, harmonische Oszillator) und einem Fermi-Oszillator identifizieren.¹ Daher auch der Name Susy-Oszillator.

Das Energiespektrum des SuSy-Oszillators besitzt folgende Gestalt

$E=\hbar \omega \cdot (n_B+n_F)$         $n_B=0,1,2...;n_F=0,1$

[angle=270,width=10cm]bild2.eps

1. Das Energiespektrum ist nicht negativ
2. Alle Zustände mit $E \neq 0$ sind zweifach entartet