Put-Call Parität

Hat man den Preis einer Call-Option berechnet findet man den Preis einer Put-Option mit demselben Basispreis $x_s$ und demselben Fälligkeitstermin anhand folgender Überlegung. Ein Portfolio, bestehend aus 1. einem Underlying (Long-Position), 2. einer gekauften Put-Option (Long-Position) und 3. einer verkauften Call-Option (Short-Position) hat am Fälligkeitstag genau den (risikofreien) Wert $x_s$. In der Tat,

$$W_N = x_N + {\rm max}(x_s-x_N,0) - {\rm max}(x_N-x_s,0) = x_s ,$$ (68)

unabhängig von $x_N$. (Siehe Abb. 15.) Es muß also gelten

$$x_N +C_{\rm put}(t_N) +C_{\rm call}(t_N) =x_s ,$$ (69)

oder das Underlying zue Zeit $t_k$ gekauft und $x_s$ entsprechend abgezinst

$$C_{\rm call}(t_k) = x_k +C_{\rm put}(t_k) -x_s e^{-r(t_N-t_k)} .$$ (70)

Die Abhängigkeit des Preises einer Put-Option vom aktuellen Underlyingkurs $x_0$, Zeit zur Fälligkeit $T$ = $t_N - t_0$, und Zinsrate $r$ ist in den Abbildungen 12 - 14 dargestellt. Man sieht, daß bei Put-Optionen Zins- und Volatilitätseffekt gegenläufig arbeiten. Bei Call-Optionen, dagegen, wirken beide Effekte gleichsinnig. Man überlegt sich leicht, daß die Tatsache, daß der Preis einer Put-Option unter der Geraden, die die Differenz $x_s-x$ darstellt, liegen kann, eine sofortige Einlösung der Option lohnend machen würde. Bei europäischen Optionen ist dies nicht möglich, Preise amerikanischer Put-Optionen aber dürfen aus diesem Grunde nicht unter der Differenz $x_s-x$ liegen. Bei Call-Optionen, deren Preis ja über $x-x_S$ liegt, ist eine frühzeitige Einlösung dagegen nicht sinnvoll. Eine Formelsammlung zur Bepreisung verschiedenster anderer Varianten von Optionen findet man beispielsweise in [5].