Der Fall $m$ = 0

Als nächstes nehmen wir an, daß über die risiokofreie Verzinsung mit $\rho$ = $rT$ kein weiterer systematischer Drift im Aktienkurs zu finden ist. Wir haben gesehen, daß bei $m\tau$ = $<\Delta_\rho x_k>$ = 0, bzw. $m\tau$ = $<\tilde\eta_k>$ = 0, der ``Tradingterm'' $<\sum_{k=0}^{N-1} \phi_k \Delta\widetilde x_k>$ in Gl. (21) nicht beiträgt. Es verbleibt also,

$$C = (1+\rho)^{-N} <{\rm max} (x_N-x_s,0)>$$

$$= (1+\rho)^{-N} \int_{x_s}^\infty \!dx_n (x_N-x_s,0) p(x_N) .$$ (42)

Wir diskutieren den Fall einer log-normalen Verteilung der Aktienkurse, also von normalverteilten $\tilde \eta_k$, mit $<\tilde\eta_k>$ = 0. Hierzu ist es zweckmäßig zu logarithmischen Kursen überzugehen. Definieren wir

$$y_N = \log{x_N}-\log{x_0(1+\rho)^N} = \log\frac{x}{x_0(1+\rho)^N} ,$$ (43)

d.h. $x_N$ = $x_0(1+\rho)^N e^y$, und

$$y_s = \log{x_s}-\log{x_0(1+\rho)^N} = \log\frac{x_s}{x_0(1+\rho)^N} ,$$ (44)

d.h. $x_s$ = $x_0(1+\rho)^N e^y_s$, so folgt aus (42) für $m$ = 0,

$$C = x_0 \int_{y_s}^\infty \!dy_N \left(e^{y_N}-e^{y_s}\right) p(y_N) .$$ (45)

Definieren wir weiterhin, analog zu (43) und (44),

$$y_m = \log{x_m}-\log{x_0(1+\rho)^m} = \log\frac{x_m}{x_0(1+\rho)^m} ,$$ (46)

so folgt für die Differenz $\Delta y_m$ = $y_{m+1}-y_m$,

$$y_{m+1}-y_m = \log \frac{x_{m+1}}{x_0(1+\rho)^{m+1}}-\log\frac{x_m}{x_0(1+\rho)^m}$$

$$= \log \frac{x_{m+1}}{x_m(1+\rho)}$$

$$= \log \frac{x_{m}(1+\rho)+\Delta_\rho x_m}{x_m(1+\rho)}$$

$$= \log \left(1+\frac{\tilde\eta_m}{1+\rho}\right)$$

$$\approx \frac{\tilde\eta_m}{1+\rho} -\frac{\tilde\eta_m^2}{2(1+\rho)^2}$$

$$\approx \frac{\tilde\eta_m}{1+\rho} -\frac{\tilde\eta_m^2}{2} ,$$ (47)

mit $\tilde \eta_m$ = $\frac{\Delta_\rho x_m}{x_m}$ und unter Benutzung von $\log (1+x) \approx x-\frac{x^2}{2}$ bei Mitnahme des Terms 2ter Ordnung in $\tilde\eta$ und Weglassen von Termen höherer Ordnung in $\tilde\eta$ und $\rho$.

Wir sind interessiert an der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variablen $y_N$ zum Ablaufzeitpunkt $t_N$ der Option. Die Variable $y_N$ läßt sich als Summe über Inkremente $\Delta y_k$ schreiben,

$$y_N = y_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \Delta y_k = \sum_{k=0}^{n-1} ... ...frac{\tilde\eta_k}{1+\rho} -\frac{\tilde\eta_k^2}{2} \right) ,$$ (48)

da $y_0$ = 0. Solch eine ``verallgemeinerte'' Summenvariable entspricht einer ``verallgemeinerte'' Faltung und läßt sich durch eine ``verallgemeinerte'' Fouriertransformation berechnen. Ganz analog zur Berechnung der Verteilung einer einfachen Summenvariable finden wir für unabhängig, identisch verteilte $\tilde\eta_n$, d.h. $p(\tilde\eta_0,\cdots,\tilde\eta_{N-1})$ = $\prod_{k=0}^{N-1} p(\tilde\eta_k)$,

$$p(y_N) = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\prod_{k=0}^{N-1} d\tilde\eta_k p(\... ...eta_k)\right) \delta\left[y_N -\sum_{k=0}^{N-1} \Delta y_k(\tilde\eta_k)\right]$$

$$\mbox{[\small mit (\ref{Fourierdelta})]} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{2\pi} \left(\prod_{k=0}^{N-1}... ...ta_k)\right) e^{-iz\left[y_N -\sum_{k=0}^{N-1} \Delta y_k(\tilde\eta_k)\right]}$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{2\p... ...}_{\displaystyle \tilde p(z)^N \mbox{\small [siehe Def. (\ref{allgFourier})]}}$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{2\pi} e^{-izy_N} \;\tilde p(z)^N .$$ (49)

Hierbei haben wir die Fourierdarstellung der $\delta$-Funktion benutzt

$$\delta (x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \!dz e^{-izx} ,$$ (50)

und eine verallgemeinerte Fouriertransformation definiert

$$\tilde p(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \!\! d\tilde\eta_k ... ...k}{1+\rho} -\frac{\tilde\eta_k^2}{2}\right]} p(\tilde\eta_k) ,$$ (51)

unter Benutzung von (47). Das bedeutet, die Verteilung einer verallgemeinerten Summe von unabhängigen Zufallsvariablen wird berechnet durch multiplizieren der verallgemeinerten Fouriertransformierten und anschließender (normaler) Fourierrücktransformation.

Die Berechnungsmethode (49) können wir nun verwenden für den Fall normalverteilter $\tilde \eta_k$,

$$p(\tilde\eta_k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_\tau} e^{-\frac{\tilde\eta_k^2}{2\sigma_\tau^2}} ,$$ (52)

wobei $\sigma _\tau$ = $\sigma\sqrt{\tau}$. Als verallgemeinerte Fouriertransformierte finden wir

$$\tilde p(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \!d\tilde\eta_k e^{iz\left[ \frac{\tilde\eta_k}{1+\rho} -\frac{\tilde\eta_k^2}{2} \right]} p(\tilde\eta_k)$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_\tau^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \!d\ti... ...} -\frac{\tilde\eta_k^2}{2} \right]} e^{-\frac{\tilde\eta_k^2}{2\sigma_\tau^2}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_\tau^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \!d\ti... ...\eta^2+2\tilde\eta\frac{iz\sigma_\tau^2}{(1+\rho)(1+iz\sigma_\tau^2)} \right] }$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_\tau^2}}\; e^{-\frac{z^2\sigma_\tau^2}{... ...\right]^2} }_{\displaystyle \sqrt{\frac{2\pi\sigma_\tau^2}{1+iz\sigma_\tau^2}}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{1+iz\sigma_\tau^2}} e^{-\frac{z^2\sigma_\tau^2}{2(1+\rho)^2(1+iz\sigma_\tau^2)}} ,$$ (53)

wobei wir wieder den Exponenten quadratisch ergänzt und das verbleibende Gauß-Integral ausgeführt haben. Um die Verteilung für $y_N$ zu erhalten müssen wir nun $\tilde p(z)^N$ invers fouriertransformieren,

$$p(y_N) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \!dz\; e^{-izy_N} \tilde p(z)^N$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \!dz\; e^{-izy_N} \frac{1}... ...gma_\tau^2}^N} e^{-\frac{z^2 N\sigma_\tau^2}{2(1+\rho)^2(1+iz\sigma_\tau^2)}} .$$ (54)

Dies ist ein unangenehmes Integral, insbesondere ist es kein Gauß-Integral in $z$. Es genügt uns jedoch den Fall $\tau\rightarrow 0$ zu betrachten, also $N\rightarrow\infty$ und $\sigma_\tau\rightarrow 0$, wobei aber $N\sigma_\tau^2$ = $T\sigma^2$ (mit $T$ = $t_N - t_0$ = $N\tau$) endlich bleiben soll. Daraus haben wir $1+iz\sigma_\tau^2 \rightarrow 1$ für den Term im Exponenten, und für den Vorfaktor erhalten wir

$$\frac{1}{\sqrt{1+iz\sigma_\tau^2}^N} =e^{-\frac{N}{2}\log(1+... ...igma_\tau^2)} \rightarrow e^{-\frac{izN\sigma_\tau^2}{2}} ,$$ (55)

nach Entwickeln der Logarithmusfunktion, also $\log(1+iz\sigma_\tau^2) \approx iz\sigma_\tau^2$. Damit wird die inverse Fouriertransformation (54) durchführbar und wir erhalten durch quadratische Ergänzung

$$p(y_N) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \!dz\; e^{-iz\left(y_N+\frac{N\sigma_\tau^2}{2}\right)} e^{-\frac{z^2 N\sigma_\tau^2}{2(1+\rho)^2}}$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \!dz\; e^{-\frac{N\sigma_\... ...^2+2zi\frac{(y_N+\frac{N\sigma_\tau^2}{2})(1+\rho)^2}{N\sigma_\tau^2} \right) }$$

$$= \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{\left(y_N+\frac{N\sigma_\tau^2}{2}\right... ...} \right)^2 } }_{\displaystyle \sqrt{\frac{2\pi}{N}}\frac{1+\rho}{\sigma_\tau}}$$

$$= \frac{1+\rho}{\sigma_\tau \sqrt{2\pi N}} \;e^{-\frac{\left(y_N+\frac{N\sigma_\tau^2}{2}\right)^2} {2N\frac{\sigma_\tau^2}{(1+\rho)^2}}} .$$ (56)

Wenn wir auch noch benutzen, daß $\rho$ = $r\tau\rightarrow 0$, so können wir schreiben

$$p(y_N) = \frac{1}{\sqrt{2\pi N\sigma_\tau^2}} \;e^{-\frac{\left(y+\frac{N\sigma_\tau^2}{2}\right)^2} {2N\sigma_\tau^2}} .$$ (57)

Dies ist also eine Gaußverteilung mit Mittelwert $\mu_{y_N}$ = $-\frac{N\sigma_\tau^2}{2}$ und Varianz $\sigma_{y_N}$ = $N\sigma_\tau^2$ = $T\sigma^2$. Wir wollen noch bemerken, daß diese Formel bei Verwendung des Ito-Kalküls (siehe nächste Stunde) sehr viel schneller erhalten werden kann. Ein Beispiel einer aus Gl. (57) resultierenden Verteilung $p(x_N)$ ist in Abb. 7 gezeigt.

Abbildung 7: Beispiel einer Wahrscheinlichkeit $p(x_N)$ für den Preis des Underlyings bei Fälligkeit, die sich aus $p(y_N)$ aus Gl. (57) ergibt ($N$ = 1000, $\rho$ = 0, $\sigma _\tau$ = $1/\sqrt {N}$).

Nun sind wir in der Lage den Optionspreis (42), d.h. das Integral in (45), zu berechnen. Setzen wir also (57) für $p(y_N)$ in (45) ein, so erhalten wir mit Hilfe quadratischer Ergänzung, den Substitutionen $z$ = $\frac{y\mp\frac{\sigma^2T}{2}}{\sigma\sqrt{T}}$ und unter Verwendung von

$$(1+\rho)^{-N} = e^{-N\ln (1+\rho)} \rightarrow e^{-N \rho} = e^{-N r \tau} = e^{-rT} ,$$ (58)

also

$$y_s\rightarrow \log\frac{x_s}{x_0}-rT ,$$ (59)

und

$$e^{y_s}\rightarrow \frac{x_s}{x_0}e^{-rT} ,$$ (60)

die Black-Scholes-Formel,

$$C(x_0,x_s,T,\sigma,r)\!\! = x_0 \int_{y_s}^\infty \!dy \frac{e^{y}-e^{y_s}}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 T}} e^{-\frac{\left(y+\frac{\sigma^2T}{2}\right)^2}{2\sigma^2T}}$$

$$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 T}} \left( \int_{y_s}^\infty \!dy... ...fty \!dy e^{-\frac{\left(y+\frac{\sigma^2T}{2}\right)^2}{2\sigma^2T}} \right)$$

$$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi \sigma^2 T}} \left( \int_{y_s}^\infty \!dy... ...fty \!dy e^{-\frac{\left(y+\frac{\sigma^2T}{2}\right)^2}{2\sigma^2T}} \right)$$

$$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} \left( \int_{\frac{y_s-\frac{\sigma^2T}{... ...+\frac{\sigma^2T}{2}}{\sigma\sqrt{T}}}^\infty \!dz e^{-\frac{z^2}{2}} \right)$$

$$= \frac{x_0}{\sqrt{2 \pi}} \left( \int_{\frac{y_-}{\sigma\sqrt{T}}}... ...} \int_{\frac{y_+}{\sigma\sqrt{T}}} ^\infty \!dz e^{-\frac{z^2}{2}} \right) ,$$ (61)

wobei

$$y_- = \log\frac{x_s}{x_0}-rT-\frac{\sigma^2T}{2},$$ (62)

$$y_+ = \log\frac{x_s}{x_0}-rT+\frac{\sigma^2T}{2} .$$ (63)

Mit Hilfe der Funktionen $G$, $\Phi$ oder erf, definiert durch (siehe auch Abb.8),

$$G(y) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{y}^\infty \!dz e^{-\fra... ... =\frac{1}{2} \left[ 1-{\rm erf}(\frac{y}{\sqrt{2}}) \right] ,$$ (64)

läßt sich die Black-Scholes-Formel auch schreiben als

$$C(x_0,x_s,T,\sigma,r)\!\!\!\! = x_0 G\left(\frac{\log\frac{x_s}{x_0}-rT-\frac{\sigma^2T}{2}}{\sig... ...G\left(\frac{\log\frac{x_s}{x_0}-rT+\frac{\sigma^2T}{2}}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$

$$= x_0 \Phi\left(\frac{\log\frac{x_0}{x_s}+rT+\frac{\sigma^2T}{2}} {... ...\left(\frac{\log\frac{x_0}{x_s}+rT-\frac{\sigma^2T}{2}} {\sigma\sqrt{T}}\right)$$

$$= x_0 G\left(\frac{y_-}{\sigma\sqrt{T}}\right) -x_s e^{-rT} G\left(\frac{y_+}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$

$$= x_0 \Phi\left(\frac{-y_-}{\sigma\sqrt{T}}\right) -x_s e^{-rT} \Phi\left(\frac{-y_+}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$

$$= \frac{x_0-x_s e^{-rT}}{2} -\frac{x_0}{2} {\rm erf}\left(\frac{y_-... ...ght) +\frac{x_s e^{-rT}}{2} {\rm erf}\left(\frac{y_+}{\sigma\sqrt{2T}}\right) .$$ (65)

Die Abhängigkeit des Preises einer Call-Option von $x_0$, $T$, und $r$ ist in den Abbildungen 9 - 11 dargestellt. Eine simultane Skalierung von $\sigma^2$ und $r$ entspricht dabei einer entsprechenden inversen Änderung der Zeit $T$.

Für $T$ = 0 wird $G(x)$ eine Stufenfunktion mit den Werten $1$ für $x<0$ und 0 für $x>0$ sowie 0.5 für $x=0$ (siehe Abb. 8),

$$\lim_{\sigma\rightarrow 0} G_\sigma(x) =\lim_{\sigma\rightar... ...ma) =\lim_{\sigma\rightarrow 0} \Phi(-x/\sigma) = \theta(-x) ,$$ (66)

und es wird daher $C(T=0)$ = max$(x(T)-x_s,0)$, wie es sein muß.

Im risikolosen Fall $\sigma$ = 0, ergibt sich,

$$C = {\rm max}(x_0 -x_s e^{-rT},0) .$$ (67)

In der Tat, wenn der Preis eines nicht risikobehafteten Gutes jetzt $x_0$ beträgt, wird er (bei kontinuierlicher Verzinsung) eine Zeit $T$ später $x_0 e^{rT}$ betragen. Eine Call-Option zum Basispreis $x_s$ wird also max( $x_0 e^{rT}-x_s,0$) einbringen. Abgezinst auf $T$ = 0 ist dies gerade max( $x_0 -x_s e^{-rT},0$), also Gl. (67).

Abbildung 8: Die Funktion $G_\sigma (x)$ = $G(x/\sigma )$ = $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_x^\infty e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}} dz$ = $\frac{1}{2}\left[ 1-{\rm erf}(\frac{x}{\sqrt{2}\sigma} \right]$ in Abhängigkeit von $x$ und $\sigma$.

Abbildung 9: Preis einer Call-Option nach Black-Scholes bei einer Standardabweichung von $\sigma$ = 0.2 (20%) pro Jahr, einem Basispreis von $x_s$ = 100, und einer jährlichen risikofreien Zinsrate von $r$ = $0.1$ (10%). Gezeigt ist die Abhängigkeit des Preises $C$ vom aktuellen Kurs $x_0$ des Underlyings für eine verschiedene Anzahl von Tage bis zum Ablauf der Option. Von links nach rechts: $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre.

Abbildung 10: Wie Abb.9 jedoch bei einer risikofreien Zinsrate von $r$ = $0.04$ (4%) pro Jahr. (Ebenfalls, von links nach rechts, für $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre.)

Abbildung 11: Wie Abb.9 jedoch bei einer Volatilität von $\sigma$ = $0.001$ (0.1%) pro Jahr. (Ebenfalls, von links nach rechts, für $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre.) Die Abbildung zeigt also den Zinseffekt am Optionspreis.

Abbildung 12: Preis einer Put-Option nach Black-Scholes bei einer Standardabweichung von $\sigma$ = 0.2 (20%) pro Jahr, einem Basispreis von $x_s$ = 100, und einer jährlichen risikofreien Zinsrate von $r$ = $0.1$ (10%). Gezeigt ist die Abhängigkeit des Preises $C$ vom aktuellen Kurs $x_0$ des Underlyings für eine verschiedene Anzahl von Tage bis zum Ablauf der Option. Von links nach rechts (bezogen auf das obere Ende): $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre. Der Preis ergibt sich aus der ``Put-Call Parity'' [Gl.  (70),Abb. 15] als $C_{\rm put}$ = $C_{\rm call}$ + $x_se^{-rT} - x_0$.

Abbildung 13: Wie Abb. 12 jedoch für eine jährliche risikofreie Zinsrate von $r$ = 0.04 (4%). Von links nach rechts (bezogen auf das obere Ende): $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre.

Abbildung 14: Wie Abb. 12 jedoch für eine Volatilität von $\sigma$ = 0.001 (0.1%) pro Jahr. Von links nach rechts: $T$ = 2, 1.5, 1, 0.5, 0 Jahre.

Abbildung 15: Put-Call Parity: Ein Portfolio, aus 1. einem Underlying (Long-Position), 2. einer gekauften Put-Option (Long-Position) zum Basispreis $x_s$ = 70 und 3. einer verkauften Call-Option (Short-Position) ebenfalls mit $x_s$ = 70 und der gleichen Fälligkeit wie Put, hat zum Fälligkeitstermin einen risikolosen Wert von $x_s$. Daraus Preis ergibt sich eine Beziehung zwischen den Preisen der Put- und der Call-Option $C_{\rm put}$ = $C_{\rm call}$ + $x_se^{-rT} - x_0$. [Gl.  (70)].