Berechnung von $<\!\Delta_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N}$

Wir berechnen nun den Mittelwert $<\!\Delta_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N}$ aus Gl. (80)

$$<\!\Delta_\rho x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N}$$

$$= \int \! dx_{k+1} p(x_N\vert x_k) \Delta_\rho x_k$$

$$= \int\left( \prod_{m=k}^{N-1} d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rho x_m... ...N-k}-\!\sum_{l=k}^{N-1} \Delta_\rho x_l (1+\rho)^{N-l-1}\right) \Delta_\rho x_k$$

$$= \int\frac{dz}{2\pi} \int\left( \prod_{m=k}^{N-1} d(\Delta_\rho x_... ...k}-\sum_{l=k}^{N-1} \Delta_\rho x_l (1+\rho)^{N-l-1}\right) } \Delta_\rho x_k$$

$$= \int\frac{dz}{2\pi} e^{-iz\left(x_N-x_k(1+\rho)^{N-k}\right)} \in... ...^{N-k-1}} \frac{\partial}{\partial z}e^{iz \Delta_\rho x_k (1+ \rho)^{N-k-1}} }$$

$$\times \underbrace{ \left( \prod_{m=k+1}^{N-1} \int d(\Delta_\rho... ...N-l-1}\right)} \right) }_{\displaystyle \xi \prod_{m=k+1}^{N-1} \tilde p_m(z) }$$

$$= -i \int\frac{dz}{2\pi} e^{-iz\left(x_N-x_k(1+\rho)^{N-k}\right)} ... ...c{\partial}{\partial z}\tilde p_k(z)\right) \prod_{m=k+1}^{N-1} \tilde p_m(z) .$$ (81)

Von der zweiten zur dritten Zeile benutzten wir hierbei

$$\int \!dx_{k+1} \delta\left(x_{k+1} -x_k- \Delta_\rho x_k ... ...-x_{k+1}-\sum_{l=k+1}^{N-1}(\Delta_\rho x_l + \rho x_l)\right)$$

$$= \delta\left(x_N -x_k-\sum_{l=k}^{N-1}(\Delta_\rho x_l + \rho x_l)\right) .$$ (82)

Weiterhin definierten wir die Funktion

$$\tilde p_m(z) = (1+\rho)^{-(N-m-1)}\hat p_m\left(z(1+\rho)^{N-m-1}\right)$$

$$= (1+\rho)^{(-N-m-1)} \int \!d(\Delta_\rho x_m) p(\Delta_\rho x_m) e^{iz \Delta_\rho x_m (1+ \rho)^{N-m-1}}$$

$$= \int \!dy \frac{p\left(y (1+\rho)^{-(N-m-1)}\right)}{(1+\rho)^{N-m-1}} e^{iz y} ,$$ (83)

wobei $y$ = $\Delta_\rho x_m (1+ \rho)^{N-m-1}$. Für $\rho$ = 0 wird $\tilde p(z)$ zur (unskalierten) Fouriertransformierten $\hat p(z)$. Aus $\sum_{m=1}^Nm$ = $N(N+1)/2$ folgt $\sum_{m=k+1}^{N-1}m$ = $(N-k-1)(N+k)/2$ und daher

$$\xi = \prod_{m=k+1}^{N-1} (1+\rho)^{N-m-1} = (1+\rho)^{(N-k-1)(N-k-2)/2} . ¸$$ (84)

Der Einfachheit halber nehmen wir im weiteren an, daß $\rho$ = 0. Für identisch verteilte $\Delta_\rho x_k$ = $\Delta x_k$ wird $\xi$ = 1, und $\prod_{m=k+1}^{N-1} \tilde p_m(z)$ = $\tilde p_{N-1}^{N-k-1}(z)$, also

$$(-i\xi) \left(\frac{\partial}{\partial z}\tilde p_k(z)\right... ...c{-i}{N-k}\frac{\partial}{\partial z}\tilde p_{N-1}^{N-k}(z) .$$ (85)

Wir finden daher für $\rho$ = 0

$$<\!\Delta x_k\!>_{x_k\rightarrow x_N} = \frac{-i}{N-k} \int\frac{dz}{2\pi} e^{-iz\left(x_N-x_k\right)} \frac{\partial}{\partial z}\tilde p_{N-1}^{N-k}(z)$$

$$= \frac{i}{N-k} \;\;\; \int\frac{dz}{2\pi} \tilde p_{N-1}^{N-k}(z) ... ... -i\left(x_N-x_k\right) \atop \displaystyle\times e^{-iz\left(x_N-x_k\right)} }$$

$$= \frac{x_N-x_k}{N-k} \underbrace{ \frac{1}{2\pi} \int\!dz \tilde p_{N-1}^{N-k}(z) e^{-iz\left(x_N-x_k\right)} }_{\displaystyle p(x_N\vert x_k) }$$

$$= \frac{x_N-x_k}{N-k} \; p(x_N\vert x_k) ,$$ (86)

wobei wir im ersten Schritt partiell integrierten bei verschwindenden Randtermen.