Lösung der Stationaritätsgleichung

Nachdem wir die $\phi$-abhängigen Terme, die zur Varianz $\left( \Delta W_N\right)^2$ beitragen bestimmt haben, sind wir nun in der Lage die Stationaritätsgleichung

$$0 = \frac{\delta <\left( \Delta W_N\right)^2>}{\delta \phi_k} ,$$ (87)

(für $\rho$ = 0) zu lösen. Aus Gl. (72) folgt direkt

$$0 = 2 \phi_k(x_k) p(x_k) <\!\left(\Delta x_k\right)^2\!>$$

$$- 2 p(x_k) \int_{x_s}^\infty \!dx_N <\Delta x_k>_{x_k-\rightarrow x_N} (x_N-x_s) ,$$ (88)

und damit

$$\phi_k(x_k) =\frac{1}{<\!\left(\Delta x_k\right)^2\!>} \int_... ...^\infty \!dx_N <\Delta x_k>_{x_k-\rightarrow x_N} (x_N-x_s) .$$ (89)

Setzen wir Gl. (86), so ergibt sich,

$$\phi_k(x_k) = \frac{1}{<\!\left(\Delta x_k\right)^2\!>} \in... ...y \!dx_N \frac{x_N-x_k}{N-k} \; p(x_N\vert x_k) (x_N-x_s) .$$ (90)

Nehmen wir nun an, daß $p(x_N\vert x_k)$ gut durch eine Gaußverteilung in $x_N-x_k$ mit Varianz

$$<\!\left(\Delta x_k\right)^2\!> (N-k) = D\tau (N-k)$$ (91)

approximiert wird, so gilt

$$\frac{x_N-x_k}{D\tau(N-k)} p(x_N\vert x_k) = \frac{\partial}{\partial x_k} p(x_N\vert x_k) ,$$ (92)

und damit,

$$\phi_k(x_k) = \frac{\partial}{\partial x_k} \int_{x_s}^\infty \!dx_N (x_N-x_s) p(x_k\vert x_k) .$$ (93)

Aus Vergleich mit Gl. (42) für $\rho$ = 0 ergibt sich die ``Delta''-Hedging Regel von Black-Scholes,

$$\phi_k(x_k) =\frac{\partial C(x,x_s,\tau(N-k))}{\partial x}\Big\vert _{x=x_k} .$$ (94)

Vergleich mit Abb. (9) zeigt, daß die Ableitung des Black-Scholes-Preises zwischen 0 und 1 schwankt. Bei Aktienkursen weit unter dem Basispreis ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Option eingelöst wird sehr gering. Es ist deshalb für den Halter der Short-Position nicht hilfreich selbst Underlyinganteile zu halten. Insbesondere wäre ein Kursverlust des Underlyings nicht durch die Short-Position einer Call-Option abgefangen. Daher ist verständlich, daß $\phi_k$ klein wird für kleine $x$. Bei hohen Kursen verhält sich eine Option immer mehr wie ein Forwardkontrakt. Solch ein Kontrakt wird durch $\phi_k$ = 1 perfect gehedgt. In der Tat wird dann der Verlust aus der Short-Position exakt durch das Halten des Underlyings kompensiert. Genau am Strikepreis ist $\phi_k(x_s)$ = 1/2.