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In Abschnitt 3.1
hatten das Prinzip der minimalen Varianz
[Gl. (12)] vorgestellt
um eine optimale Hedging-Strategie
zu bestimmen,
|
(71) |
Für den Fall einer Call-Option ergibt sich,
wobei kollektiv diejenigen Terme bezeichnet,
die unabhängig sind von .
Für den ersten -abhängigen Term
in Gl. (72) erhalten wir
unter der Annahme unabhängiger
,
da weder noch
von
mit abhängen und
aufgrund der Normierung von Wahrscheinlichkeiten,
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(74) |
Mit
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(75) |
läßt sich auch schreiben,
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(76) |
Für den zweiten -abhängigen Term
in Gl. (72) ist es nützlich
die Kursentwicklung von
in die drei Abschnitte
,
und
zu zerlegen
(Physiker mögen sich dabei an die Berechnung von
Erwartungswerten mit Pfadintegralen erinnert fühlen),
Hierbei ist
=
, also
die Wahrscheinlichkeit für
zum Zeitpunkt .
Analog sind
sowie
Spezialfälle der allgemeinen Definition,
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(78) |
die Wahrscheinlichkeit von zur Zeit
nach zur Zeit zu gelangen.
Insbesondere ist
also noch von abhängig.
Es gilt
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(79) |
Weiterhin bezeichnet
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(80) |
den Mittelwert von
über alle Pfade, die von nach gehen,
gewichted mit .
Diese Größe kann also ungleich Null sein
selbst wenn
= 0.
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Joerg_Lemm
2000-02-02