Abschätzung des Einflusses von $m$

Da wir im Folgenden spezeill den Fall $m$ = 0 näher diskutieren wollen, schätzen wir den Einfluß von $m$ auf den Optionspreis ab. Wir berechnen dazu den Erwartungswert

$$<{\rm max} (x_N-x_s,0)> = \int_{x_s}^\infty \!dx \frac{x-x_s}{\sqrt{2\pi DT}} e^{-\frac{(x-x_0-mT)^2}{2DT}} ,$$ (33)

für eine ``At the money''-Option, d.h., für $x_0$ = $x_s$. Da eine normale und log-normale Verteilung in ihrem zentralen Bereich gut übereinstimmen, wählen wir eine Gaußverteilung für die Differenz $x_N-x_0$ mit Mittelwert $mT$ und Varianz $DT$ = $\sigma^2x_0^2T$. (Unter der Annahme $\eta_k$ = $\Delta x_k/x_k\approx \Delta x_k/x_0$ gilt $\sigma^2_{\Delta x_k}$ = $x_0^2 \sigma^2_{\eta_k}$). Wir erhalten für $x_0$ = $x_s$,

$$<{\rm max} (x_N-x_s,0)> = \int_{x_s}^\infty \!dx \frac{x-x_s}{\sqrt{2\pi DT}} e^{-\frac{(x-x_s-mT)^2}{2DT}}$$

$${\scriptstyle \left[ \mbox{\small Substitution}\; z = \frac{x-x_s-mT}{\sqrt{DT}} \right]} = \sqrt{\frac{DT}{2\pi}} \int_{-\frac{mT}{\sqrt{DT}}}^\infty \!dz ... ...c{mT}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\frac{mT}{\sqrt{DT}}}^\infty \!dz e^{-\frac{z^2}{2}}$$

$${\scriptstyle \left[ \mbox{\small Integrale (\ref{int1}) und (\ref{int2})} \right]} = \sqrt{\frac{DT}{2\pi}} e^{-\frac{\left(\frac{mT}{\sqrt{DT}}\right)^2}{2}} +\frac{mT}{2} \left[1-{\rm erf}(-\frac{mT}{\sqrt{2DT}})\right]$$

$${\scriptstyle \left[ \mbox{\small Entwicklung (\ref{expan1}) und (\ref{expan2})}\; \right]} \approx \sqrt{\frac{DT}{2\pi}} +\frac{mT}{2} [1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \frac{mT}{\sqrt{DT}}]$$

$${\scriptstyle \left[ \mbox{\small Annahme (\ref{an1})}\; \right]} \approx \sqrt{\frac{DT}{2\pi}} +\frac{mT}{2} .$$ (34)

mit $y$ = $x-x_0-mT$, $z$ = $\frac{y}{\sqrt{DT}}$. Hierbei haben wir benutzt, daß

$$\int_a^b \!dz z e^{-\frac{z^2}{2}} = -e^{-\frac{z^2}{2}}\big\vert _a^b = -e^{-\frac{a^2}{2}}-e^{-\frac{b^2}{2}} ,$$ (35)

sowie

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^\infty \!dz e^{-\frac{z^2}{2}} = \frac{1}{2} \left[1-{\rm erf}(\frac{a}{\sqrt{2}})\right] .$$ (36)

Schließlich haben wir bis zur ersten Ordnung in $mT$ entwickelt gemäß

$$e^{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = 1+x+\cdots,$$ (37)

$$e^{-\frac{x^2}{2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(-x^2)^n \approx 1,$$ (38)

$$\frac{\sqrt{\pi}}{2} {\rm erf}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{n!(2n+1)} \approx x,$$ (39)

und angenommen, daß

$$\frac{mT}{\sqrt{DT}}«1 ,$$ (40)

ist (also $mT«\sqrt{DT}$).

Bei $T$ = 100 Tagen, einer Tagesvolatilität von $\sigma^2$ = 1%, einer durchschnittlichen jährlichen Rendite von $m$ = 5% und einem Underlyingkurs von $x_0$ = 100 Punkten, erhalten wir

$$\sqrt{\frac{DT}{2\pi}} \approx 4 \;\mbox{Punkte}, \quad \frac{mT}{2} \approx 0.67 \;\mbox{Punkte} .$$ (41)

Resultate für $m$ = 0 können also eine sinnvolle erste Näherung sein. Insbesondere ist die klassische Black-Scholes-Lösung $m$-unabhängig.