Vermögensbilanz bei Optionsgeschäften

Betrachten wir nun die Vermögensbilanz des Schreibers (Long-Position) einer europäischen Call-Option mit Ausübungspreis (strike price) $x_s$,

$$W_N = (W_0+C)(1+\rho)^N -{\rm max} (x_N-x_s,0) +(1+\rho)^N\sum_{m=0}^{N-1} \phi_m \Delta\widetilde x_m ,$$ (19)

wobei wir berücksichtigt haben, daß die Optionsprämie bereits bei Abschluß, also zur Zeit $t_0$ fällig wird.

Aus der Bedingung für einen fairen Preis

$$0 = <\Delta_\rho W_N> = <W_N> - W_0 (1+\rho)^N ,$$ (20)

folgt für den Optionspreis (dem in dem realistischen Fall, in dem keine risikofreie Hedging-Strategie möglich ist, noch eine Risikozulage zugeschlagen werden muß),

$$C = (1+\rho)^{-N} <{\rm max} (x_N-x_s,0)> - <\sum_{k=0}^{N-1} \phi_k \Delta\widetilde x_k> .$$ (21)

Hierbei ist

$$\Delta \tilde x_k = \tilde x_{k+1}-\tilde x_k = (1+\rho)^{-(k+1)}\Delta_\rho x$$ (22)

mit

$$\Delta_\rho x_k = x_{k+1}-(1+\rho)x_k = \Delta x_k -\rho x_k$$ (23)

und $\Delta x_k$ = $x_{k+1}-x_k$. Analog zu den relativen Änderungen

$$\eta_k = \frac{\Delta x_k}{x_k} ,$$ (24)

definieren wir nun

$$\tilde \eta_k = \frac{\Delta \tilde x_k}{(1+\rho)\tilde x_k} = \frac{\Delta_\rho x_k}{x_k} ,$$ (25)

welches zu $\eta_k$ in der Beziehung steht $\eta_k$ = $\tilde\eta_k+\rho$.

Wir nehmen nun an, daß die $\Delta_\rho x_k$ bzw. $\tilde \eta_k$ = $\frac{\Delta_\rho x_k}{x_k}$ unabhängig normalverteilt sind. In beiden Fälen können wir die Kurse $x_n$ durch die unabhängigen Zufallsgrößen $\Delta_\rho x_k$ bzw. $\tilde \eta_k$ ausdrcken. Für $\Delta_\rho x_k$ erhalten wir beispielsweise durch Iteration, analog zu $x_n$ = $x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \Delta x_k$ $\left[ = x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \left(\Delta_\rho x_k+\rho x_k\right) \right]$,

$$x_n = x_{n-1} + \Delta x_{n-1} = x_{n-1} + \Delta_\rho x_{n-1}+\rho x_{n-1}$$

$$= x_{n-1} (1+\rho) + \Delta_\rho x_{n-1}$$

$$= x_{n-2}(1+\rho)^2 + \Delta_\rho x_{n-2} (1+\rho) + \Delta_\rho x_{n-1}$$

$$\cdots$$

$$= x_0(1+\rho)^n + \sum_{k=0}^{n-1} \Delta_\rho x_k (1+\rho)^{N-k-1}.$$ (26)

Dies bedeutet, daß $x_n$ nur von den $\Delta_\rho x_k$ mit $k<n$ abhängt. Dasselbe gilt daher für die Zahl der gehaltenen Aktien $\phi_n(x_n)$, die nur vom bekannten aktuellen Kurs $x_n$, aber nicht von der noch unbekannten zukünftigen Kursänderung $\Delta_\rho x_k$ abhängt. Die Unabhängigkeit der $\phi_n$ von $\Delta_\rho x_n$, bedeutet

$$<\phi_n \Delta_\rho x_n> \;=\; <\phi_n><\Delta_\rho x_n> .$$ (27)

In der Tat, folgt diese Beziehung direkt aus Gleichung (26) und der Unabhängigkeit der $\Delta_\rho x_k$, d.h. einer faktorisierenden gemeinsamen Wahrscheinlichkeit $p(\Delta_\rho x_0,\cdots,\Delta_\rho x_n)$ = $\prod_{k=0}^n p(\Delta_\rho x_k)$,

$$<\phi_n \Delta_\rho x_n> \!\!\!\! = \int \left( \prod_{k=0}^{n} d(\Delta_\rho x_k) p(\Delta_\rho x_k)... ..._n) }_{\mbox{von $\Delta_\rho x_n$}\atop\mbox{unabh\uml angig}} \Delta_\rho x_n$$

$$= \underbrace{ \left[ \int \left( \prod_{k=0}^{n-1} d(\Delta_\rho x... ... p(\delta_\rho x_n) \Delta_\rho x_n \right] }_{\displaystyle <\Delta_\rho x_n>}$$

$$= <\phi_n><\Delta_\rho x_n> .$$ (28)

Ähnlich wie (26) läßt sich $x_n$ auch durch die bis zum Zeitpunkt $t_n$ bereits aufgetretenen $\eta_k$ bzw.  $\tilde \eta_k$ ausdrücken

$$x_n = x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \eta_k x_k = x_0 + \sum_{k=0}^{n-1} \left(\tilde\eta_k+\rho\right)x_k .$$ (29)

Expliziter erhalten wir durch Iteration,

$$x_n = x_{n-1} + \eta_{n-1} x_{n-1} = x_{n-1} (1 + \eta_{n-1})$$

$$= x_{n-2} (1 + \eta_{n-2})(1 + \eta_{n-1})$$

$$\cdots$$

$$= x_{l} (1 + \eta_{l})(1 + \eta_{l+1})\cdots(1 + \eta_{n-1})$$

$$= x_{l} \prod_{k=l}^{n-1}(1 + \eta_k) = x_{0} \prod_{k=0}^{n-1}(1 + \eta_k) ,$$ (30)

für $0\le l\le k$, und ebenso für die $\tilde \eta_k$,

$$x_n = x_{n-1} + \tilde \eta_{n-1} x_{n-1} +\rho x_{n-1} = x_{n-1} (1 + \rho + \tilde\eta_{n-1})$$

$$= x_{n-2} (1 + \rho + \tilde\eta_{n-2})(1 + \rho+\tilde\eta_{n-1})$$

$$\cdots$$

$$= x_{l} (1 + \rho+\tilde\eta_{l})(1 + \rho+\tilde\eta_{l+1})\cdots (1 + \rho+\tilde\eta_{n-1})$$

$$= x_{l} \prod_{k=l}^{n-1}(1 + \rho +\tilde\eta_k) = x_{0} \prod_{k=0}^{n-1}(1 + \rho +\tilde\eta_k) .$$ (31)

Für den Fall, daß die $\tilde \eta_k$ als unabhängige Zufallsvariablen aufgefaßt werden gilt daher,

$$<\phi_n \Delta_\rho x_n> \;=\; <\phi_n x_n \tilde\eta_n> \;=\; <\phi_n x_n><\tilde\eta_n> .$$ (32)

Unter der Annahme $<\Delta_\rho x_k>$ = $m_1$ = $m\tau$ = 0 bei unabhängigen Zufallsvariablen $\Delta_\rho x_k$, bzw. $<\tilde\eta_k>$ = $m_1$ = $m\tau$ = 0 bei unabhängigen $\tilde \eta_k$, fällt also der ganze ``Tradingterm'' $<\sum_{k=0}^{N-1} \phi_k \Delta\widetilde x_k>$ aus Gl. (21) heraus.